Решение задач на условные вероятности, понятное школьнику
Задача, повсюду встречающаяся (в
быту, при принятии решений, в оценках,
суждениях), и в которой люди делают
стандартную ошибку (биас); это тот случай
где интуиция нас подводит. Проблему
поднял и описал Д. Кахнеман (Нобелевская
премия в экономике 2002 совместно со
В.Смитом) в 1973 году в совместной работе
с А. Тверским.
Предлагаю решать её
моим "древесно-программистским"
способом, описанным
здесь, менее подверженным
ошибкам чем подстановкой
в "каноническую" формулу Баеса приоров, постериоров, ожиданий или нормализационных членов (скорее всего неизвестным
тем, кто не учил статистику в университете).
"Древесный"
же способ/формализм интуитивен (особенно программистам), не зависит от порядка
ветвения, что будет продемонстрировано
ниже, решая задачу 3-мя способами, и даже
не различая между 2-мя семантически
разными задачами, кажущимися нам
различными, показанными Кахнеманом.
Итак, сама задача.
Используем оригинальные условия,
применённые Кахнеманом, хотя такси
можно заменить на людей, цвета - на пол,
доход, социальное положение или
национальность, ну вы поняли.
85% такси в городе
принадлежит одной компании, (назовём
её Зелёные), и 15% - другой (Синие).
Произошла авария,
нарушитель скрылся.
Свидетель утверждает,
что видел такси Синих.
Суд определил надёжность
оценки при освещённости и условиях той
ночи, она составляет 80%, т.е. 20% людей по
статистике в подобных условиях ошибаются.
Какова вероятность что
нарушитель был из компании Синих?
(Наиболее частый ответ,
даже включая людей, учивших статистику
- 80%. Ответ неправильный).
Рисуем дерево со всеми
комбинациями (чисто комбинаторно: все
сочетания, как все "if-else" в программировании), на конечных веточках
впишем то, что видят свидетели:
|----80%----> Green
|----85%----> Green|
| |-----20%---> Blue
|
------|
|
| |----80%---> Blue
|----15%---> Blue |
|----20%---> Green
Теперь (самое сложное)
- надо понять что спрашивают, и что ещё
известно из условий (что мы ещё не
отметили).
То, что свидетель видел
такси Синих - мы ещё не указали.
Отметим две веточки
справа с "Blue", отметая другие
возможности. Мы "обрезаем" дерево
и оставляем только то что известно.
Свидетель же не говорил, что такси Зелёное.
Можно для наглядности вычеркнуть пербую
и ветвёртую вертикальные веточки,
оставив две средние.
Это, кстати, наш Sample
space, [S]={20%---> Blue, 80%---> Blue}.
Но не будем об этом, и
не будем говорить о нормировке, которой
запутывали нас на статистике!
Теперь мы работаем с
этим подмножеством возможностей,
состоящим из 2х веточек.
Обрезание дерева (можно
зачеркивать):
|--
|----85%----> Green|
| |-----20%---> Blue
|
------|
|
| |----80%---> Blue
|----15%---> Blue |
|--
Заметим, что все проценты
у нас были расписаны, т.е. когда мы стирали
ветки - мы не теряли информацию (80 и 20
дают 100). В других задачах, возможно, при
стирании числа нужно было переписать
его дополнение (до 100%) на все соседние ветви (в нашем случае - одна единственная
соседняя ветка).
На этом этапе также
можно написать суммарный процент доли
веточек, пройдя от корня дерева по всем
путям и умножив проценты по всему пути,
но мы это сделаем в конце.
Итак, последнее, что
нас спрашивают?
"Какова вероятность
что нарушитель был из компании Синих".
Это нижняя ветвь. Возьмём
долю всех веточек находящихся на этой
подветви {15%---> Blue --- 80%--> Blue}, т.е.
единственный случай, ко всему Sample space,
оговорённому выше
{85%----> Green---20%---> Blue,
15%---> Blue --- 80%--> Blue}:
<Ответ
задачи> = {15%*80%}/{85%*20% +
15%*80%}=0.15*0.8/(0.85*0.2+0.15*0.8)=0.41379310344 = ~ 41%
Можно было сразу вписать
в дерево 0.85*0.20=0.17, и 0.15*0.80=0.12:
|--
|----85%----> Green|
| |-----20%---> Blue (0.17)
|
------|
|
| |----80%---> Blue (0.12)
|----15%---> Blue |
|--
<Ответ задачи> =
0.12/(0.17+0.12)= ~ 41%
Другой вариант решения
приводит к тому же результату. Но в этом
разбиении нужно помнить, что цвета
справа - это реальные цвета, а не то что
сказал свидетель. В скобках запишем цвета, указанные свидетелем.
|----85%----> actually Green (he said Green)
|----80%----> Right |
| |-----15%---> actually Blue (he said Blue)
|
------|
|
| |----85%---> actually Green (he said Blue)
|----20%---> Wrong |
|----15%---> actually Blue (he said Green)
...
|--
|----80%----> Right |
| |-----15%---> actually Blue (he said Blue) (0.12)
|
------|
|
| |----85%---> actually Green (he said Blue) (0.17)
|----20%---> Wrong |
|--
<Ответ задачи> =
0.12/(0.17+0.12)= ~ 41%
Более краткий "стринговый" метод для решения:
prior (any!)
G85
B15
расписываем событие,
добавляя в стринг в конец:
G85-G80
G85-B20
B15-B80
B15-G20
считаем веса (здесь
считаем для всех, хотя можно сэкономить
и считать после следующего обрезания
ветвей, или ненужных стрингов):
G85-G80 0.68
G85-B20 0.17
B15-B80 0.12
B15-G20 0.03
убирание невозможных ситуаций (оставляем
только стринги кончающиеся на B, согласно
свидетельству):
G85-B20 0.17
B15-B80 0.12
нас интересует вероятность
только реально (слева) B (по отношению ко всем сочетаниям из возможных):
<Ответ задачи> =
0.12/(0.17+0.12)= ~ 41%
Напоследок приведём
задачу с тем же результатом, но
сформулированную по-другому. Кахнеман
в своей книге ("Thinking fast and slow")
обращает внимание, что люди обычно не
ошибаются при такой формулировке:
Две компании имеют
одинаковое количество машин.
85% аварий случается у
компании Зеленых.
Свидетель утверждает
что наезд был машиной компании Синих.
Известно, что 80% свидетелей
ошибаются в подобных ситуациях.
Какова вероятность что
машина компании Синих?
Расписав деревья, можно
показать, что ответ не зависит от порядка
записи (как выше) и деревья будут такими
же как и для первой задачи.
Правильный ответ тот
же: 0.12/(0.12+0.19) = 0.41379310344 = ~ 41%
Надеюсь, этот метод кому-то поможет. Его можно преподавать даже школьникам.
Литература:
D. Kahneman "Thinking, fast and
slow"
A. Tversky, D. Kahneman, "Evidential
impact of base rates, in Judgement under uncertainty: Heuristics and
biases"
Kahneman, D. & Tversky, A. -
несколько работ (см. список литературы
http://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kahneman), не будем
перечислять их здесь
